پایستگی انرژی

یک جسم در اطراف یک سیاره در تعادل بین دو نیرو قرار دارد: نیروی گریز از مرکز و نیروی گرانشی:

در این اینجا:

• Fc نیروی گریز از مرکز
• Fg نیروی گرانشی
• m1 جرم جسم در مدار
• m2 جرم سیاره
• v سرعت جسم در حین چرخش
• r فاصله جسم از مرکز سیاره
• G ثابت گرانشی

هستند.

جسم در مدار با یک انرژی پتانسیل (بالقوه) به نام “گرانش” که ناشی از میدانی است که در آن قرار دارد توصیف میشود.

هنگام صحبت کردن در مورد یک انرژی بالقوه، ذهن بلافاصله به سمت قضیه برنولی می رود که بیان می کند برای یک مایع مجموع انرژی پتانسیل(بالقوه)، جنبشی و فشار ثابت است.

برای مثال شما میتوانید به آب موجود در یک حوضه که در بالای کوه واقع شده است فکر کنید. آب که مجبور به عبور از یک مسیر است، با توجه به ارتفاع، انرژی پتانسیل اولیه را به انرژی جنبشی و فشار تبدیل میکند و سپس به منظور تبدیل انرژی به برق در توربین جمع میشود.

قضیه برنولی ضمیمه ای از اصل پایستگی انرژی است.

انرژی تغییر شکل می دهد، اما مقدار کل آن تغییر نمی کند. در حالت مسیر (هدایت) اجباری انرژی پتانسیل آب در ارتفاع U = mgh به انرژی جنبشی و فشار تبدیل می شود.

اصل پایستگی می تواند به همان شیوه به جسم در حال چرخش در میدان گرانشی یک سیاره اعمال شود. در میدان گرانشی انرژی پتانسیل به طور کلی بیان می شود. فرمول :

عبارت U=mgh (که همه ما از دوران مدرسه با آن آشنا هستیم) فراتر از یک عبارت و فرمول عمومی و کلی است و می تواند فقط در

h<<R

که R شعاع زمین است اعمال شود (این بدان معنی است که فقط در سطح زمین معتبر است).

اصل پایستگی انرژی برای یک جسم در میدان گرانشی با رابطه زیر بیان می شود:

مقدار کل انرژي مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل است. بدین ترتیب، طبق این رابطه، یک جسم در سقوط آزاد در میدان گرانشی یک سیاره، انرژی پتانسیل اش را به انرژی جنبشی تبدیل می کند، اما ثابت نگه داشتن مجموع این دو باعث افزایش سرعت میشود.

مقدار کل انرژی یکسان باقی خواهد ماند. در غیر این صورت امکان ندارد: یک جسم را با یک پتانسیل شروع خاص بیاورید (اما بدون داشتن انرژی جنبشی) پتانسیلش را افزایش می دهد حتی بدون دریافت انرژی خارجی اضافی.

این نتیجه تنها با کاهش فاکتور سینتیکی به دست می آید.

در حقیقت، برای افزایش انرژی پتانسیل، سینتیک (انرژی جنبشی) باید کاهش یابد، اما زمانی که این انرژی صفر است، نمیتواند منفی شود. بنابراین، در یک نیروگاه برق آبی، نهایتا آب با صرف انرژی الکتریکی که در طول شب هزینه کمتری دارد، در ارتفاعات به سمت دریاچه در طول شب، حرکت میکند.

با این حال، ضرورت این است که انرژی بیشتری را برای به دست آوردن آب دوباره و در مقادیر بالاتری از انرژی پتانسیل برای استفاده روزمره برای تولید جریان الکتریکی (که به قیمت بالاتر فروخته می شود) مصرف کنیم.

مثال دیگر می تواند مربوط به یک سرسره باشد که شما بدون هیچ گونه تلاش می توانید از آن به سمت پایین سر بخورید اما هنگامی که به طرف بالا حرکت می کنید، باید مقداری از انرژی را برای رعایت اصل پایستگی انرژی در نظر بگیرید.

بیایید وضعیت مشابهی را با توجه به یک جسم در حال چرخش در یک مدار که تنها در جهت مداری (نه هیچ جهت شعاعی دیگری) حرکت میکند تصور کنیم. بنابراین جسم فقط دارای انرژی پتانسیل است؛ سرعت آن عمود بر جهت شعاعی است که نیروی گرانشی بر آن تاثیر می گذارد و، در ضمن، با توجه به تمام عوامل، این نمی تواند هیچ تاثیری بر محاسبه داشته باشد.

حال یک شهاب سنگ را در نظر بگیرید که به جسم درحال چرخش در یک جهت مماس بر مدار برخورد میکند و به این ترتیب برای افزایش سرعت ماهواره ما این را در نظر داریم. (اما بگذارید این را یک افزایش جزئی فرض بگیریم).

برای انجام مقایسه با یک مسیر و هدایت اجباری، تصور کنید که سعی دارید مقدار کمی آب داخل سطل را به سمت بالا در هوا فقط با وارد کردن یک نیروی جنبشی ناچیز پرت کنید (به هر حال، برای غلبه بر نیروی گرانشی کافی نخواهد بود).

به این ترتیب آب در یک زمان کوتاهی تسلیم این نیروی جنبشی میشود اما در نهایت توسط گرانش به زمین باز میگردد و سقوط میکند زیرا نیرویی نیست که بتواند آب را به ارتفاع دریاچه بکشاند. به همین ترتیب سرعت جدیدی که توسط ماهواره مورد نظر به دست می آید

V ‘= V + ΔV

خواهد بود.

ΔV بسیار کوچک است.

از آنجا که، V’> V نیروی گریز از مرکز با توجه به رابطه زیر کمی افزایش پیدا میکند:

به عبارت دیگر نیروی گرانشی به همان مقدار (یکسان) باقی خواهد ماند. تعادل از دست خواهد رفت.

ماهواره ای که نیروی F را به دست می آورد F= Fc’-Fg کافی است که آن را از سیاره دور کند. نیروی حاصل آن سرعت را در جهت شعاعی ایجاد می کند، به طوری که انرژی جنبشی که در جهت شعاعی حرکت می کند، شروع به افزایش و جسم شروع به خارج شدن از مدار سیاره می کند. از آنجا که فاصله افزایش می یابد، تا جایی که جسم از سیاره جدا شود، Fc’ نسبت به r/ 1 کاهش می یابد. در همان زمان نیروی گرانش:

سریعتر و سریعتر نسبت به کاهش می یابد.

جسم بیشتر و بیشتر شتاب می گیرد و انرژی جنبشی به سرعت بیشتر میشود. هیچ انرژی اضافی (و یا انرژی کم) وجود ندارد.

در همان زمان، از آنجا که جسم از سیاره خارج می شود، انرژی پتانسیل باید افزایش یابد و بنابراین به همین ترتیب کل انرژی و انرژی جنبشی باید افزایش پیدا کند و در اینجا پارادوکس آغاز می شود. جسم باید بلافاصله متوقف شده و در مداری دیگر به دام افتاده باشد.

فقط به این دلیل که خروج از سیاره اصلی انرژی پتانسیل را افزایش میدهد و باعث کاهش سینتیک با توجه به اصل پایستگی انرژی می شود. اما، با توجه به نیروی گریز از مرکز، که بالاتر از نیروی گرانشی است(ادامه پیدا میکند تا بالاتر رود)، جسم باید با حرکت مارپیچی از سیاره خارج شود. در واقع این امر می تواند انرژی را از هیچ چیز ایجاد کند که حتی اصل پایستگی انرژی مکانیکی را نیز رعایت نمیکند.

ایراد:

زمانی که ماهواره از سیاره جدا میشود انرژی پتانسیل کاهش می یابد نه افزایش. در حقیقت باید در فاصله بینهایت از سیاره، صفر در نظر گرفته شود.

پاسخ:

شما باید نشانه ای از انرژی را در نظر بگیرید که در این مورد منفی است. این انرژی منفی است که به طور مداوم به صفر می رسد.

بیایید محاسبه کنیم، فقط یک مثال تمرینی، کل انرژی یک موشک 10000 کیلوگرم است که با سرعت 500 متر بر ثانیه حرکت می کند و از سیاره ای خارج می شود که با شعاع r1=500 کیلومتر و r2 = 1000 کیلومتر است. هیچ نیرویی وجود ندارد: موشک به علت رانش قبلی از زمین خارج می شود و از آنجایی که در فضای خالی و تهی حرکت می کند هیچ چیز سرعت آن را کاهش نمیدهد:

انرژی پتانسیل، با توجه به جرم زمین، کیلوگرم، در ارتفاع 500 و 1000 کیلومتری به شرح زیر است:

به نظر میرسد که 7.96 بزرگتر از 3.98 باشد اما به دلیل نشانه منفی، بزرگتر نیست. کل انرژی در 500 کیلومتری خواهد بود:

و در 1000 کیلومتری:

که بسیار بزرگتر است. مقدار کل انرژی حفظ (صرفه جویی) نمیشود. بنابراین فرمول نیوتون برای گرانش اشتباه است چرا که اصل پایستگی انرژی را رعایت نمیکند.

• قانون سوم حرکت نیوتن چیست ؟